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Vector-Complex-Quaternion

本稿ではクォータニオン(四元数,しげんすう)について解説する.ただし,解説といってもクォータニオンとはなかなか味わい深い数であるので,いろいろな数の物語を通じてクォータニオンに到達しようという趣向である.

本稿は例えば3次元コンピュータグラフィックス(CG)に関わっている人で,クォータニオンが使えるけれどもよくわからないという人(つまりは昔の筆者)を対象にしたつもりであるが,本稿を読むにあたってコンピュータグラフィックスの知識は全く必要ない.

また本稿では,クォータニオンの他にベクトルや複素数の本当の意味も解説する.なぜならクォータニオンとは『ベクトルをたっぷりふりかけ,複素数にどっぷり漬け込み,反エルミート行列でこんがりと焼き上げた』数だからである.これらの事柄は全部本稿で説明した.

一方,本稿では次のことを(クォータニオン理解の基礎ではあるが)説明しなかった.
  • 数学基礎論
  • 線形代数の基礎
  • 2次元の回転行列
  • 複素代数の基礎
  • オイラーの定理の証明
  • 数学記号の由来,読み方
これらの事柄(大学1年生程度)は別の教科書を参考にされたい.

本稿は次のような構成になっている.
  1. まず2種類の代数方程式を解いてみる.すると,実行列と複素数がそれぞれ登場する.
  2. 物理学(といっても力学の初歩)の立場から,2次元のベクトルという考え方を導入する.また2次元のベクトルを回転させてみる.
  3. 少しばかり寄り道をしてブラとフォームが何かを知り,ベクトルの本当の姿をみる.
  4. 複素数を使うと,2次元の位置(ベクトル)と回転(行列)が同格になることをみる.
  5. オイラー角による3次元のベクトルの回転を考えてみる.
  6. 複素行列を使うと,3次元の位置(ベクトル)と回転(行列)がやはり同格になることをみる.
  7. もうひとつの3次元回転,クォータニオンに触れる.
最後に余談としてスピノールという考え方にも触れる.

ところで,本文中にも触れるが,本稿では次の新しい記号を発明する.
[[a,b]]=a+ib
ここでaとbは実数でありiは虚数単位である.この記号[[a,b]]は実数部aと虚数部bを持つ複素数を作る記号である.

ではさっそくテーブルについて,クォータニオンを賞味しよう.

(下記のリンクからPDFファイルをダウンロードして下さい.)
Ċ
1 Kanaya,
Apr 2, 2014, 1:04 AM
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